Suatu variabel dikatakan terregional jika terdistribusi dalam ruang dan biasanya mecirikan suatu fenomea tertentu, misal sebagai kadar logam yang merupakan karakteristik suatu mineralisasi.
Secara matematik variabel terregional merupakan penyajian nilai fungsi f(x) yang menempati setiap titik x pada ruang.
Secara umum terhadap semua endapan, perilaku karakteristik atau struktur variabilitas dalam ruang dari variabel terregional dapat dilihat/dikenali suatu aspek erratic secara lokal (adanya zone lebih kaya dibandingkan lainnya). Conto yang diambil pada zone lebih kaya akan mempunyai nilai rata-ratalebih tinggi dibandingkan yang diambil pada zone yang lebih miskin, sehingga nilai variabel terregional f(x) tergantung pada posisi letak ruang x. Tetapi secara umum (rata-rata) akan menunjukkan aspek terstruktur dengan fungsi tertentu.
1. Konsep Fungsi Acak
Variabel acak adalah variabel yang mempunyai nilai numerik tertentu berdasarkan distribusi probabilitas tertentu. Kekayaan lubang bor z(x1) pada titik x1. Jadi kumpulan kadar z(x) untuk semua x di dalam endapan, yaitu variabel terrigional z(x) dapat dipandang sebagai realisasi variabel acak {Z(x), x Î endapan}. Kumpulan variabel terregional z(x) dinamakan suatu fungsi acak dan ditulis Z(x).
Definisi suatu fungsi acak menyatakan aspek acak dan terstruktur dari suatu variabel terregional :
a. secara lokal pada titik x1, z(x1) adalah variabel acak.
b. Z(x) juga merupakan suatu fungsi acak untuk setiap kumpulan titik-titik x1 dan x1+h, sedangkan variabel acak Z(x1) dan Z(x1+h) itu sendiri tidak tidak merupakan fungsi acak. Secara umum Z(x1) dan Z(x1+h) adalah independen, tetapi keduanya dihubungkan oleh korelasi struktur letak ruang dari variabel terregional z(x).
2. Hipotesis pada variabel terregional
dan semivariogram
Karena munculnya aspek yang erratic pada variabel terregional, maka kajian secara langsung terhadap variabel terregional ini tidak memungkin-kan, oleh karena itu memerlukan beberapa hipotesis.
2.1 Ekspektasi matematika atau moment order ke satu
Memandang suatu variabel acak pada titik x. Jika distribusi fungsi dari Z(x) mempunyai ekspektasi, maka ekspektasi secara umum merupakan fungsi x, yaitu :
E {Z(x)} = m(x) ” x (1)
2.2 Moment order ke dua
Tiga buah moment order ke dua yang dipertimbangkan pada geostatistik adalah :
a. Varians dari Z(x)
Jika varians ini muncul, maka pada moment order ke dua didefinisikan sebagai ekspektasi di sekitar m(x) dari variabel acak f(x),
var {Z(x)} = E [{Z(x) – m(x)2] “ x (2)
sebagaimana ekspektasi m(x), varians secara umum juga merupa-kan fungsi dari x.
b. Kovarians
Dapat dilihat bahwa jika dua variabel acak Z(x1) dan Z(x2) mempunyai varians dari titik x1 dan x2 dan ditulis,
C(x1,x2) = E [{Z(x1) – m(x2) – m(x2)}] (3)
c. Semivariogram
Fungsi semivariogram didefinisikan sebagai varians dari increment {Z(x1) – Z(x2)} dan ditulis sebagai,
2 g(x1,x2) = var{Z(x1) – Z(x2)} (4a)
atau
2 g(h) = S[z(xi) – z(xi+h)] 2/2 N(h) (4b)
dimana N(h) adalah jumlah pasangan data dan h adalah jarak antar conto/lag semivariogram.
2.3 Hipotesis Stationaritas
Hipotesis ini muncul dari definisi bahwa fungsi kovarians dan semivariogram tergantung secara simultan pada dua support titik x1 dan x2. Oleh karena itu, beberapa realisasi dari kumpulan variabel acak {Z(x1), Z(x2)} dapat digunakan untuk penarikan kesimpulan statistik.
Dilain pihak, jika fungsi ini hanya tergantung pada jarak di antara dua support titik (yaitu pada vektor h = x1 – x2 memisahkan x1 dan x2), maka penarikan kesimpulan statistik menjadi mungkin, yaitu setiap pasangan data {Z(xk), Z(xk’)} terpisahkan oleh jarak (xk – xk’), sama dengan vektor h, dapat dipandang sebagai suatu realisasi yang lain dari pasangan variabel acak
{Z(x1),Z(x2)}.
Secara penalaran menjadi jelas, pada suatu zone mineralisasi homogen, korelasi yang ada diantara dua nilai data Z(xk) dan Z(xk’) tidak tergantung pada posisi di dalam zone tetapi lebih tergantung pada jarak yang memisahkan mereka.
2.4 Stationaritas order ke dua
Sebuah fungsi acak dikatakan menjadi stationaritas order ke dua jika :
a. Ekspektasi matematik E{Z(x)} ada dan tidak tergantung pada support titik x,
E {Z(x)} = m “ x (5)
b. Setiap pasangan dari variabel acak {Z(x),Z(x+h)} muncul kovarians dan tergantung pada jarak h,
C(h) = E [{Z(x+h) – m} . {Z(x) – m}]
= E{Z(x+h) . Z(x)} – m E {Z(x+h)} – m E {Z(x)} + m2
= E{Z(x+h) . Z(x)} – m2 – m2 + m2
C(h) = E {Z(x+h) . Z(x)} – m2 “ x (6)
dimana h menyatakan suatu koordinat vektor (hu,hv,hw) pada ruang 3 dimensi.
Stationaritas dari kovarians mengandung arti stationaritas dari varians dan (semi) variogram. Hubungan berikut bisa diturunkan dari definisi di atas, yaitu :
a. C(0) = E [{Z(x) – m}2]
C(0) = E{Z(x). Z(x)} – m2
Var {Z(x)} = E [{Z(x) – m}2] = C(0) (7)
b. g (h) = 1/2 E [{Z(x+h) – Z(x) m}2]
= 1/2 E [{Z(x+h) . Z(x+h) Z(x+h)} – E [{Z(x+h) . Z(x)}
+ 1/2 E{Z(x). Z(x)}
g (h) = E{Z(x). Z(x)} – E{Z(x+h) . Z(x)}
= C(0) + m2 – {C(h) + m2}
g (h) = C(0) – C(h) (8)
2.5 Hipotesis intrinsik
Suatu fungsi acak Z(x) dikatakan menjadi intrinsik jika :
a. Muncul suatu ekspektasi matematik dan tidak tergantung pada support titik x.
E {Z(x)} = m “ x (9)
b. Untuk semua vektor h, increment {Z(x)+(h) – Z(x)} mempunyai varians berhingga yang tidak tergantung pada x,
Var {Z(x+h) – Z(x)} = E [{Z(x+h)- Z(x)}2 = 2 g(h) “ x (10)
3. Beberapa Catatan Penting Semi-variogram
Berdasarkan hipotesis di atas, maka terdapat beberapa catatan penting semivariogram.
3.1 Stationaritas semu
Pada praktek, fungsi struktural kovarians atau semi variogram hanya digunakan untuk jarak terbatas çh ç≤ a. Sebagai batas a, misalnya diameter dari penaksiran. Dua variabel Z(x) dan Z(x+h) tidak dapat dipandang sebagai berasal dari mineralisasi homogen yang sama jikaçh ç> a.
Pada kasus ini berarti fungsi struktural C(x,x+h) atau g(x,x+h), tidak lebih dari pada stationaritas secara lokal untuk jarak çh ç kurang dari batasan a.
3.2 Tidak munculnya korelasi
Sering dijumpai, bahwa korelasi antara dua variabel Z(x) dan Z(x+h) menghilang saat jarak h menjasi terlalu besar :
C(h) ® 0, jika çh ç® ∞
dan secara praktis, dapat diambil C(h)= 0, pada çh ç³ a. Di luar jarak a, dimana C(h) dapat dipandang menjadi sama dengan nol disebut range dan ini menyajikan transisi (perubahan) yang tidak memberikan korelasi pada çh ç³ a.
3.3 Sifat semivariogram
Definisi semi-variogram sebagai varians dari increment, mengakibatkan sifat-sifat sbb :
g (0) = 0, g (h) = g (-h) ³ 0 dan g (h) ³ g (0)
Secara umum, tetapi tidak selalu harus, peningkatan h akan menyebabkan rata-rata kuadrat pada dua variabel Z(x) dan Z(x+h) cenderung meningkat dan oleh sebab itu g (h) meningkat dari nilai awal (nol).
3.4 Phenomena transisi
Kurva semi-variogram akan naik dan pada jarak tertentu menjadi kurang lebih stabil di sekeliling suatu nilai batas g (∞) yang disebut nilai sill, yang merupakan a priori variance dari variabel acak.
g (∞) = var {Z(x)} = C(0)
Semi-variogram yang dicirikan oleh nilai sill dan suatu range, disebut model transisi, dan mencerminkan suatu fungsi acak yang tidak hanya intrinsik tetapi juga stationaritas order ke dua.
3.5 Zone pengaruh
Pada suatu fenomena transisi, setiap nilai data Z(x) akan terkorelasi dengan nilai data lainnya yang terletak pada radius a dari x. Radius a ini disebut juga range, yang merupakan batas stationaritas semu dari endapan yang homogen. Adanya korelasi seperti ini menyebabkan pengaruh suatu nilai terhadap nilai lainnya akan menurun pada jarak ke dua titik yang semakin jauh. Jadi range menghubungkan dengan ide penalaran dari suatu zone pengaruh variabel acak, yaitu di luar jarak çhç= a, variabel acak Z(x+h) dan Z(x+h) selanjutnya tidak terkolerasi.
